Es tracta d'un nombre algebraic irracional (decimal infinit no periòdic) que poseeix moltes propietats interesants i que va ser descovert en l'antigüetat, no com a “unitat” sino com a relació o proporció entre segments de rectes. Aquesta proporció es troba tant en figures geomètriques com a la natura. Es pot trobar en elements arquitectonics, en les fulles d'alguns arbres, al grosor de les branques, en un nàutil, als girasols i fins i tot en el cos humà.
Així mateix, s'atribueix un caràcter estétic especial als objectes que continuen la raó àurea, així com una importància mística. Al llarg de la història, se li ha atribuït importància en diverses obres d'arquitectura i altres arts, encara que alguns d'aquestos casos han sigut objectables per a les matemàtiques i l'arqueología.
Relació amb la serie de Fibonacci:
Si es denota l'enésim nombre de Fibonacci com Fn, i al següent nombre de Fibonacci, com Fn+1, descubrim que, a medida que n aumenta, aquesta raó oscila, oi és alternativament menor i major que fi. També podem notar que la fracció continua que describeix el nombre fi produeix sembre nombres de Fibonacci a mesura que aumenta el nombre d'uns en la fracció. Per exemple:3/2 = 1.5; 8/5 = 1.6; i 21/13 = 1.61538461..., el que s'aproxima considerablement al fi.
Aquesta propietat va ser descoberta per l'astrònom alemà Johannes Kepler, però van pasar més de 100 anys abans de que fosi demostrada pel matemàtic anglés Robert Simson.
Més endavant es va trobar que qualsevol sucesió aditiva recurrent d'ordre 2 tendeix al mateix límit. Per exemple, si tomem dos nombres naturals arbitraris, per exemple 3 i 7, la sucesió recurrent resulta: 3-7-10-17-27-44-71-115-186-301... Els cocients de termes sucesius produeixen aproximacions racionals que s'aproximen per excés i per defecte al mateix límit: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795.
El pentagrama:
Fi té un paper molt important als pentàgons regulars i als pentagrames. Cada intersecció de parts d'un segment interseca a altre segment en una raó àurea (fi).
El pentagrama inclueix 10 triangles isòscels: 5 acutàngles i 5 obtusàngles. En ambdós , la raó del major i el menor és fi. Aquestos triangles es coneixen com els triàngles àureos.
Tenint en compte la gran simetría d'aquest símbol, s'observa que dins es posible dibuixar una nova estrela, amb una recursivitat infinita. De la mateixa manera, es posible dibuixar un pentàgon per l'exterior, que sería a la seua vegada el pentègon interior d'una estrela més gran.
El fi a la natura:
En la natura, hi ha molts elements relacionats amb la secció àurea (fi) i/o els nombres de Fibonacci:·La relació entre la quantitat d'abelles mascles i d'abelles femelles en una bresca (si divideixes el nombre d'abelles femelles entre el nombre d'abelles mascles d'una bresca, dona fi).
·La disposició dels pétals de les flors.
·La distribució de les fulles d'un tall.
·La relació entre el grosor de les branques principals i el tronc, o entre les branques principals i les secundaries.
El fi en l'art i en la cultura:
·Al Cuadre Leda atòmica, de Salvador Dalí, fet en col·laboració amb el matemàtic rumà Matila Ghyka.·Als violins, la ubicació de les efes o eses (les “orelles” o orificis en la tapa) es relacionen amb el nombre àureo. (Es troba, per exemple, als violins de Stradivarius)
·Fi apareix en les relacions entre altura i ample dels objectes i les persones que apareixen en les obres de Miguel Ángel, Durero i Leonardo da Vinci, entre altres.
·Les relacions entre articulacions en l'home de Vitruvi i en altres obres de Leonardo da Vinci.
·En les estructures formals de les sonates de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en les obres de Debussy.
·A l'episodi “Sabotatge” de la serie de televisió NUMB3RS (primera temporada, 2005), el geni matemàtic Charlie Eppes menciona que el nombre fi es troba en la estructura dels cristals, en l'espiral de les galàxies i en la petxina del Nautilus.
·El nombre fi apateix en la película de Disney Donald al país de les matemàtiques.
